Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ， ∠BAA1=60°．
（Ⅰ）證明：AB⊥A1C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)O，連接OC，OA1 ，

∵CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°
∴OC⊥AB，OA1⊥AB，
∵OC∩OA1=O，
∴AB⊥平面OCA1 ，
∵CA1平面OCA1 ，
∴AB⊥A1C；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，
所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1 ， OC兩兩垂直．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)閤軸的正向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
可得A（1，0，0），A1（0， ，0），C（0，0， ），B（﹣1，0，0），
則 =（1，0， ）， = =（﹣1， ，0）， =（0，﹣ ， ），
設(shè) =（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，
則 ，
可取y=1，可得 =（ ，1，﹣1），故cos＜ ， ＞=﹣ ，
又因?yàn)橹本�與法向量的余弦值的絕對(duì)值等于直線與平面的正弦值，
故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為： ．

【解析】（Ⅰ）取AB中點(diǎn)，連接OC，OA1 ， 得出OC⊥AB，OA1⊥AB，運(yùn)用AB⊥平面OCA1 ， 即可證明．（Ⅱ）易證OA，OA1 ， OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)閤軸的正向建立坐標(biāo)系，可向量的坐標(biāo)，求出平面BB1C1C的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的空間中直線直線之間的位置關(guān)系和空間角的異面直線所成的角，需要了解相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能得出正確答案．