Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱AA1⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1 ， E、F分別是CC1 ， BC的中點．
（1）求證：平面AB1F⊥平面AEF；
（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結AF，∵F是等腰直角三角形△ABC斜邊BC的中點，

∴AF⊥BC．

又∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，

∴面ABC⊥面BB1C1C，

∴AF⊥面BB1C1C，AF⊥B1F．

設AB=AA1=1，則 ，EF= ， ．

∴ = ，∴B1F⊥EF．

又AF∩EF=F，∴B1F⊥平面AEF．

而B1F面AB1F，故：平面AB1F⊥平面AEF

（2）解：以F為坐標原點，F(xiàn)A，F(xiàn)B分別為x，y軸建立直角坐標系如圖，

設AB=AA1=1，

則F（0，0，0），A（ ），B1（0，﹣ ，1），E（0，﹣ ， ），

， =（﹣ ， ，1）．

由（1）知，B1F⊥平面AEF，取平面AEF的法向量：

=（0， ，1）．

設平面B1AE的法向量為 ，

由 ，

取x=3，得 ．

設二面角B1﹣AE﹣F的大小為θ，

則cosθ=|cos＜ ＞|=| |= ．

由圖可知θ為銳角，

∴所求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值為 ．

【解析】（1）連結AF，由已知條件推導出面ABC⊥面BB1C1C，從而AF⊥B1F，由勾股定理得B1F⊥EF．由此能證明平面AB1F⊥平面AEF．（2）以F為坐標原點，F(xiàn)A，F(xiàn)B分別為x，y軸建立直角坐標系，利用向量法能求出二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．
【考點精析】掌握平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．