Question

在平面上取定一點(diǎn)O，從O出發(fā)引一條射線Ox，再取定一個(gè)長度單位及計(jì)算角度的正方向（取逆時(shí)針方向?yàn)檎�）．就稱建立了一個(gè)極坐標(biāo)系，這樣，平面上任一點(diǎn)P的位置可用有序數(shù)對(duì)（ρ，θ）確定，其中ρ表示線段OP的長度，θ表示從Ox到OP的角度，在極坐標(biāo)下，給出下列命題：
（1）平面上的點(diǎn)A（2，-

π

6

）與B（2，2kπ+

11π

6

）（k∈Z）重合；
（2）方程θ=

π

3

和方程ρsinθ=2分別都表示一條直線；
（3）動(dòng)點(diǎn)A在曲線ρ（cos²

θ

2

-

1

2

）=2上，則點(diǎn)A與點(diǎn)O的最短距離為2；
（4）已知兩點(diǎn)A（4，

2π

3

），B（

4 3

3

，

π

6

），動(dòng)點(diǎn)C在曲線ρ=8上，則△ABC面積的最大值為

40 3

3

．
其中正確命題的序號(hào)為

 

（填上所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由極坐標(biāo)的定義即可判斷出；
（2）方程θ=

π

3

表示直線：y=

3

x，方程ρsinθ=2表示直線y=2，即可判斷出；
（3）曲線ρ（cos²

θ

2

-

1

2

）=2即ρ•

cosθ

2

=2，化為x=4，即可得出點(diǎn)A與點(diǎn)O的最短距離為4；
（4）由點(diǎn)A（4，

2π

3

），B（

4 3

3

，

π

6

），動(dòng)點(diǎn)C在曲線ρ=8上，可得A(-2，2

3

)，B(2，

2 3

3

)，x²+y²=64．直線AB的方程化為x+

3

y-4=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式得出圓心到直線的距離d，即可圓上的點(diǎn)到直線AB的距離d的最大值為d+r，利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（1）平面上的點(diǎn)A（2，-

π

6

）與B（2，2kπ+

11π

6

）（k∈Z）重合，正確；
（2）方程θ=

π

3

表示直線：y=

3

x，方程ρsinθ=2表示直線y=2，因此正確；
（3）曲線ρ（cos²

θ

2

-

1

2

）=2即ρ•

cosθ

2

=2，化為x=4，則點(diǎn)A與點(diǎn)O的最短距離為4，因此不正確；
（4）由點(diǎn)A（4，

2π

3

），B（

4 3

3

，

π

6

），動(dòng)點(diǎn)C在曲線ρ=8上，可得A(-2，2

3

)，B(2，

2 3

3

)，x²+y²=64．∴直線AB的方程為：y-2

3

=-

3

3

(x+2)，化為x+

3

y-4=0，∴圓心到直線的距離d=

4

2

=2，∴圓上的點(diǎn)到直線AB的距離d的最大值為d+r=10，|AB|=

42+( 4 3 3 )2

=

8 3

3

．∴△ABC面積的最大值為

1

2

|AB|×10=

40 3

3

，因此正確．
其中正確命題的序號(hào)為（1）（2）（4）．
故答案為：（1）（2）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)的定義、直線及其點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．