已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=a(a≠0),an+2=p•
an+12
an
(其中p為非零常數(shù),n∈N*
(Ⅰ)證明:數(shù)列{
an+1
an
}是等比數(shù)列,并求an;
(Ⅱ)當a=1,p≠±1時,令bn=
nan+2
an
,Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,求Sn
(Ⅲ)在(Ⅱ)條件下,當p=1時,cn=2bn,是否存在非零整數(shù)λ,使不等式(-1)n+1λ<
1
(1-
1
c1
)(1-
1
c2
)…(1-
1
cn
)
cn+1
對一切n∈N*都成立?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.
考點:數(shù)列的求和,等比關系的確定
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(I)由a1=1,a2=a(a≠0),an+2=p•
an+12
an
(其中p為非零常數(shù),n∈N*),可得
an+2
an+1
=p•
an+1
an
,利用等比數(shù)列的通項公式可得
an+1
an
=a•pn-1,
當n≥2時,利用“累乘求積”可得an=
an
an-1
an-1
an-2
•…•
a2
a1
a1
=an-1•pn-2•pn-3•…•p即可得出.
(II)bn=
nan+2
an
=a2n•p2n-1.當a=1,p≠±1時,利用“錯位相減法”及其等比數(shù)列的前n項和公式即可得出;
(III)p=1時,由(II)可得:bn=n.cn=2bn=2n.令Tn=(1-
1
c1
)(1-
1
c2
)
•…•(1-
1
cn
)
,利用放縮法可得:Tn
cn+1
<1,即
1
Tn
cn+1
>1
,假設存在非零整數(shù)λ,使不等式(-1)n+1λ<
1
(1-
1
c1
)(1-
1
c2
)…(1-
1
cn
)
cn+1
對一切n∈N*都成立,可得(-1)n+1λ≤1,即可得出.
解答: (I)證明:∵a1=1,a2=a(a≠0),an+2=p•
an+12
an
(其中p為非零常數(shù),n∈N*),
an+2
an+1
=p•
an+1
an
,
∴數(shù)列{
an+1
an
}是等比數(shù)列,公比為p,首項為
a2
a1
=a.
an+1
an
=a•pn-1,
∴當n≥2時,an=
an
an-1
an-1
an-2
•…•
a2
a1
a1
=an-1•pn-2•pn-3•…•p=an-1p
(n-1)(n-2)
2

當n=1時也成立,
∴an=an-1p
(n-1)(n-2)
2

(II)令bn=
nan+2
an
=a2n•p2n-1.當a=1,p≠±1時,
∴數(shù)列{bn}的前n項和Sn=a2(p+2×p3+3×p5+…+n×p2n-1),
∴p2Sn=a2[p3+2×p5+…+(n-1)×p2n-1+n×p2n+1],
∴(1-p2)Sn=a2(p+p3+p5+…+p2n-1-n•p2n+1)=a2(
p(p2n-1)
p2-1
-np2n+1)
,
∴Sn=a2
1-(1+n-np2)p2n+1
(1-p2)2

(III)p=1時,由(II)可得:bn=n.cn=2bn=2n.
令Tn=(1-
1
c1
)(1-
1
c2
)
•…•(1-
1
cn
)

=(1-
1
2
)•(1-
1
4
)
•…•(1-
1
2n
)

=
1
2
×
3
4
×…×
2n-1
2n
2
3
×
4
5
×
…×
2n
2n+1
=
2
1
×
4
3
×
…×
2n
2n-1
×
1
2n+1

Tn
1
Tn
×
1
cn+1
,
Tn
cn+1
<1,
1
Tn
cn+1
>1
,
假設存在非零整數(shù)λ,使不等式(-1)n+1λ<
1
(1-
1
c1
)(1-
1
c2
)…(1-
1
cn
)
cn+1
對一切n∈N*都成立,
則(-1)n+1λ≤1,
∴±λ≤1,
取λ=1即可滿足條件.
點評:本題考查了“累乘求積”、“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“放縮法”、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法,考查了分析問題與解決問題的能力,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知
a
=(2,4,x)(其中x>0)
b
=(2,y,2),若|
a
|=3
5
,且
a
b
,則x+2y=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知奇函數(shù)y=f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,則函數(shù)y=f(|x|)滿足.
A、是奇函數(shù)在(-∞,
1
2
)上遞減
B、是偶函數(shù),在(-∞,0)上遞減
C、是偶函數(shù),在(-∞,0]上遞增
D、是偶函數(shù),在(-∞,1)上遞減

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A、B兩島相距100km,B在A的北偏東30°,甲船自A以40km/h的速度向B航行,同時乙船自B以30km/h的速度沿方位角150°(即東偏南60°)方向航行,當兩船之間的距離最小時,兩船合計航行距離(  )
A、等于
65
7
km
B、小于100km
C、大于100km
D、等于100km

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

等比數(shù)列{an}的首項為1,公比為q,前n項和為S,則數(shù)列{
1
an
}的前n項之和為(  )
A、
1
S
B、S
C、S•q1-n
D、S-1•q1-n

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=Asin(2x+φ)+k(-π<φ<0),它的圖象的一條對稱軸是x=
π
8

(1)若A=1,求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若f(x)的最大值為3,最小值為-1,求A與k的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面上取定一點O,從O出發(fā)引一條射線Ox,再取定一個長度單位及計算角度的正方向(取逆時針方向為正).就稱建立了一個極坐標系,這樣,平面上任一點P的位置可用有序數(shù)對(ρ,θ)確定,其中ρ表示線段OP的長度,θ表示從Ox到OP的角度,在極坐標下,給出下列命題:
(1)平面上的點A(2,-
π
6
)與B(2,2kπ+
11π
6
)(k∈Z)重合;
(2)方程θ=
π
3
和方程ρsinθ=2分別都表示一條直線;
(3)動點A在曲線ρ(cos2
θ
2
-
1
2
)=2上,則點A與點O的最短距離為2;
(4)已知兩點A(4,
3
),B(
4
3
3
π
6
),動點C在曲線ρ=8上,則△ABC面積的最大值為
40
3
3

其中正確命題的序號為
 
(填上所有正確命題的序號)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=
x
lnx
,f(x)=g(x)-ax.
(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),求實數(shù)a的最小值;
(3)若?x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若方程
x2
|a|-1
-
y2
2a+3
=1表示的橢圓,則a的取值范圍為
 

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