Question

設函數(shù)f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，f′（x），g′（x）分別是f（x），g（x）的導函數(shù)，當x＜0時，f′（x）•g（x）+f（x）•g′（x）＞0且g（-3）=0，則f（x）•g（x）＜0的解集是（　�。�

• A、（-3，0）∪（0，3）
• B、（-3，0）∪（3，+∞）
• C、（-∞，-3）∪（3，+∞）
• D、（-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：根據(jù)f（x）、g（x）的奇偶性，可得F（x）=f（x）g（x）是奇函數(shù)．由題中的不等式可得F（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)得在區(qū)間（0，+∞）上F（x）也是增函數(shù)．最后分x＞0和x＜0加以討論，并結(jié)合F（-3）=F（3）=0，可求出不等式f（x）g（x）＜0的解集．

解答： 解：令F（x）=f（x）g（x），
∵f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
∴F（x）=f（x）g（x）是定義在R上的奇函數(shù)．
又∵當x＜0時F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0成立，
∴F（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)，可得它在區(qū)間（0，+∞）上也是增函數(shù)．
∵g（-3）=0可得F（-3）=0，
∴結(jié)合F（x）是奇函數(shù)可得F（3）=0，
當x＞0時，F(xiàn)（x）=f（x）g（x）＜0即F（x）＜F（3），結(jié)合單調(diào)性得0＜x＜3；
當x＜0時，F(xiàn)（x）=f（x）g（x）＜0即F（x）＜F（-3），結(jié)合單調(diào)性得x＜-3．
因此，不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（0，3）．
故選：D．

點評：本題給出函數(shù)F（x）=f（x）g（x）的奇偶性和單調(diào)性，求不等式f（x）g（x）＜0的解集．著重考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的關系等知識點，是中檔題．