Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-λx+λ（λ∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）請問，是否存在實(shí)數(shù)λ使f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立？若存在，請求實(shí)數(shù)λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）確定函數(shù)的最大值，可得λ-lnλ-1≤0即可，構(gòu)造新函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的最小值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f/(x)=

1

x

-λ=

1-λx

x

，(x∈(0，+∞))…（2分）
當(dāng)λ≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，
則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增…（4分）
當(dāng)λ＞0時(shí)，由f/(x)=

1

x

-λ=

1-λx

x

＞0得0＜x＜

1

λ

，
則f（x）在(0，

1

λ

)上單調(diào)遞增，在(

1

λ

，+∞)上單調(diào)遞減…（6分）
（Ⅱ）存在．…（7分）
由（Ⅰ）得：當(dāng)λ≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增f（x）≤0顯然不成立；
當(dāng)λ＞0時(shí)，f（x）在(0，

1

λ

)上單調(diào)遞增，在(

1

λ

，+∞)上單調(diào)遞減，
∴f(x)max=f(

1

λ

)=ln

1

λ

-1+λ=λ-lnλ-1，
只需λ-lnλ-1≤0即可　…（9分）
令g（x）=x-lnx-1
則g/(x)=1-

1

x

，
函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（x）_min=g（1）=0，…（10分）
即g（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，
也就是λ-lnλ-1≥0對λ∈（0，+∞）恒成立，
∴λ-lnλ-1=0解得λ=1，
∴若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，λ=1． …（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查 恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．