Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx（a≠0）的圖象在點（1，f（1））處的切線斜率為-6，導函數(shù)f′（x）的最小值為-12．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)，由導數(shù)的幾何意義，得到f′（1）=-6，再由二次函數(shù)的最值，即可；
（2）令f′（x）＞0，解不等式，求出單調(diào)增區(qū)間，求出f（-1），f（3），f（

2

），比較即可得到．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²+b，
∵曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為-6，
∴f′（1）=-6，即3a+b=-6，
∵導函數(shù)f′（x）的最小值為-12，
∴a＞0，b=-12，
∴a=2，b=-12；
（2）f（x）=2x³-12x，f′（x）=6x²-12，
令f′（x）＞0，則x＞

2

或x＜-

2

，
f′（x）＜0，則-

2

＜x＜

2

，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（

2

，+∞），（-∞，-

2

）．
∵f（-1）=2-12=-10，f（

2

）=4

2

-12

2

=-8

2

，f（3）=54-36=18．
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是18，最小值是-8

2

．

點評：本題考查導數(shù)的綜合運用：求切線方程，求單調(diào)區(qū)間，求最值，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．