Question

已知拋物線的方程為y²=4x，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且M（4，0），MA⊥MB，求S_△MAB．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)出過(guò)焦點(diǎn)弦的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，y₁y₂=-4，由MA⊥MB，求得k值，進(jìn)而由S_△MAB=

1

2

|MF||y₁-y₂|求得．

解答： 解：∵拋物線的方程為y²=4x，∴F（1，0），設(shè)焦點(diǎn)弦方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入拋物線方程得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韋達(dá)定理：x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，y₁y₂=-4
∵M(jìn)A⊥MB，

MA

=（x₁-4，y₁），

MB

=（x₂-4，y₂），
∴

MA

•

MB

=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16+y₁y₂=13-4×

2k2+4

k2

=0，∴k²=

16

5

，
又(y1-y2)2=4（x₁+x₂）-2y₁y₂=4×

2k2+4

k2

+8=21，∴|y₁-y₂|=

21

，
∴S_△MAB=

1

2

|MF||y₁-y₂|=

1

2

×3×

21

=

3 21

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．