Question

1．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，體對角線AC₁與正方體的內切球面相交于E，F，且E點靠近A點，若正方體的邊長為1，則DE與CF所成角的余弦值為$\frac{1+2\sqrt{3}}{11}$．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出DE與CF所成角的余弦值．

解答 解以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
OE=OF=$\frac{1}{2}$，OA=OC₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
O（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），A（1，0，0），C₁（0，1，1），D（0，0，0），
$\overrightarrow{AO}$=（-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{O{C}_{1}}$=（-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{\sqrt{3}}\overrightarrow{OA}$=（$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，-$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，-$\frac{1}{2\sqrt{3}}$），E（$\frac{1}{2}+$$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{2\sqrt{3}}$），
$\overrightarrow{OF}=\frac{1}{\sqrt{3}}\overrightarrow{O{C}_{1}}$=（-$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2\sqrt{3}}$），F（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}$），
$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}+$$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{2\sqrt{3}}$），$\overrightarrow{CF}$=（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}$），
設DE與CF所成角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CF}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{\frac{1}{2\sqrt{3}}}{\sqrt{1-\frac{1}{2\sqrt{3}}}•\sqrt{1-\frac{1}{2\sqrt{3}}}}$=$\frac{1+2\sqrt{3}}{11}$．
∴DE與CF所成角的余弦值為$\frac{1+2\sqrt{3}}{11}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．