【題目】已知函數(shù).
(1)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(2)求證:時,.
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】
(1)通過換元法,將不等式恒成立轉化為恒成立,其中.構造函數(shù),利用導數(shù)研究的單調性,結合三種情況進行分類討論,由此求得實數(shù)的取值范圍.
(2)利用分析法,將所要證明的不等式轉化為證明,結合(1)的結論以及基本不等式,證得上述不等式成立.
(1).
記,原不等式轉化為恒成立,其中.
令,則,
記,則.
①當時,注意到,故恒成立,從而.
于是,函數(shù)在上單調減,,符合題意;
②當時,考慮時,恒成立,即函數(shù)在上單調增,所以,時,,不符合題意,舍去.
③當時,,,不符合題意,舍去.
綜上,實數(shù)的取值范圍是.
(2).
由(1)的過程知,即.
故要證,只需證(*).
事實上,由(1)的結論知,當時,恒成立,即時,,而,即(*)成立,
等號當且僅當時取到,故原不等式獲證.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點分別為,其焦距為,點在橢圓上,,直線的斜率為(為半焦距)·
(1)求橢圓的方程;
(2)設圓的切線交橢圓于兩點(為坐標原點),求證:;
(3)在(2)的條件下,求的最大值
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年4月10日21時整,全球六地(上海和臺北、布魯塞爾、圣地亞哥、東京和華盛頓同時召開新聞發(fā)布會,宣布人類首次利用虛擬射電望遠鏡,成功捕獲世界上首張黑洞圖像,公布的照片展示了一個中心為黑色的明亮環(huán)狀結構,看上去有點像個橙色的甜甜圈,其黑色部分是黑洞投下的“陰影”,明亮部分是繞黑洞高速旋轉的吸積盤.某同學作了一張黑洞示意圖,如圖所示,由兩個同心圓和半個同心圓環(huán)構成圓及圓環(huán)的半徑從內到外依次為2,3,4,5個單位在圖中隨機任取一點,則該點取自陰影的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】2020年春,新型冠狀病毒在我國湖北武漢爆發(fā)并訊速蔓延,病毒傳染性強并嚴重危害人民生命安全,國家衛(wèi)健委果斷要求全體人民自我居家隔離,為支援湖北武漢新型冠狀病毒疫情防控工作,各地醫(yī)護人員紛紛逆行,才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社區(qū)為保障居民的生活不受影響,由社區(qū)志愿者為其配送蔬菜、大米等生活用品,記者隨機抽查了男、女居民各100名對志愿者所買生活用品滿意度的評價,得到下面的2×2列聯(lián)表.
特別滿意 | 基本滿意 | |
男 | 80 | 20 |
女 | 95 | 5 |
(1)被調查的男性居民中有5個年輕人,其中有2名對志愿者所買生活用品特別滿意,現(xiàn)在這5名年輕人中隨機抽取3人,求至多有1人特別滿意的概率.
(2)能否有99%的把握認為男、女居民對志愿者所買生活用品的評價有差異?
附:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,點在面內的射影為,,點到平面的距離為,且直線與垂直.
(Ⅰ)在棱上找一點,使直線與平面平行,并說明理由;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求二面角的大。
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【題目】已知圓錐的頂點為A,高和底面的半徑相等,BE是底面圓的一條直徑,點D為底面圓周上的一點,且∠ABD=60°,則異面直線AB與DE所成角的正弦值為( )
A.B.C.D.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以原點為極點,x軸非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為.
(1)求曲線C1的極坐標方程以及曲線C2的直角坐標方程;
(2)若直線l:y=kx與曲線C1、曲線C2在第一象限交于P、Q,且|OQ|=|PQ|,點M的直角坐標為(1,0),求△PMQ的面積.
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【題目】《九章算術》中“勾股容方”問題:“今有勾五步,股十二步,問勾中容方幾何?”魏晉時期數(shù)學家劉徽在其《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法:如圖1,用對角線將長和寬分別為和的矩形分成兩個直角三角形,每個直角三角形再分成一個內接正方形(黃)和兩個小直角三角形(朱、青).將三種顏色的圖形進行重組,得到如圖2所示的矩形.該矩形長為,寬為內接正方形的邊長.由劉徽構造的圖形還可以得到許多重要的結論,如圖3.設為斜邊的中點,作直角三角形的內接正方形對角線,過點作于點,則下列推理正確的是( )
①由圖1和圖2面積相等得;
②由可得;
③由可得;
④由可得.
A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③
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