Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A、B是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左右頂點(diǎn)，離心率為$\frac{1}{2}$，且橢圓過(guò)定點(diǎn)$（1，\frac{3}{2}）$，P為橢圓右準(zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，直線(xiàn)PA，PB分別交橢圓于M，N．
（1）求橢圓的方程；
（2）若線(xiàn)段MN與x軸交于Q點(diǎn)且$\overrightarrow{MQ}=λ\overrightarrow{QN}$，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知a=2c，b²=a²-c²=3c²，將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求得a，b和c的值，求得橢圓方程；
（2）求得橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)P，求得PA和PB的方程，代入橢圓方程，求得M和N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得λ=$\frac{\frac{18t}{{t}^{2}+27}}{\frac{6t}{{t}^{2}+3}}$=$\frac{3（{t}^{2}+3）}{{t}^{2}+27}$，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得λ的取值范圍．

解答 解：（1）由橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，則b²=a²-c²=3c²，
將$（1，\frac{3}{2}）$代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，即$\frac{1}{4{c}^{2}}+\frac{3}{4{c}^{2}}=1$，
解得：c=1，
則a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）可知：則準(zhǔn)線(xiàn)方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，設(shè)P（4，t），A（-2，0），B（2，0）
則直線(xiàn)PA的斜率k₁=$\frac{t}{4-（-2）}$=$\frac{t}{6}$，直線(xiàn)PA的方程y=$\frac{t}{6}$（x+2），
直線(xiàn)PB的斜率k₁=$\frac{t}{4-2}$=$\frac{t}{2}$，直線(xiàn)PB的方程y=$\frac{t}{2}$（x-2），
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{t}{6}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{54-2{t}^{2}}{{t}^{2}+27}}\\{y=\frac{18t}{{t}^{2}+27}}\end{array}\right.$，則M（$\frac{54-2{t}^{2}}{{t}^{2}+27}$，$\frac{18t}{{t}^{2}+27}$），
同理可得：N（$\frac{4{t}^{2}}{{t}^{2}+3}$，$\frac{-6t}{{t}^{2}+3}$），
由設(shè)Q（x，0），由$\overrightarrow{MQ}=λ\overrightarrow{QN}$，則$\overrightarrow{MQ}$=（x-$\frac{54-2{t}^{2}}{{t}^{2}+27}$，-$\frac{18t}{{t}^{2}+27}$），$\overrightarrow{QN}$=（$\frac{4{t}^{2}}{{t}^{2}+3}$-x，$\frac{-6t}{{t}^{2}+3}$），
-$\frac{18t}{{t}^{2}+27}$=λ$\frac{-6t}{{t}^{2}+3}$，則λ=$\frac{\frac{18t}{{t}^{2}+27}}{\frac{6t}{{t}^{2}+3}}$=$\frac{3（{t}^{2}+3）}{{t}^{2}+27}$=$\frac{3（{t}^{2}+27）-72}{{t}^{2}+27}$=3-$\frac{72}{{t}^{2}+27}$，
則0＜λ＜3，
λ的取值范圍（0，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．