【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為,,,過點的直線與橢圓相交于點A,B兩點,且

1)若,求橢圓的方程;

2)直線AB的斜率;

3)設點C與點A關于坐標原點對稱,直線上有一點的外接圓上,求的值.

【答案】123

【解析】

(1) 由已知可得,且,得BAE的中點,即可求出橢圓方程;(2) 方法一:由題意知橢圓的方程可寫為設直線的方程,設,則它們的坐標滿足方程組,整理得再由根的判別式和根與系數(shù)的關系求解;方法二:設直線的方程為,代C,消去x整理,得, 再由根的判別式和根與系數(shù)的關系求解;(3)(1) 可得,設橢圓方程為A0),C0,),寫出線段AF1 的垂直平分線l的方程,得到△AF1C外接圓的圓心.求得外接圓的方程為.再求出直線F2B的方程為yxc),于是點Hm,n)的坐標滿足方程組:,由此可得的值.同理分析得到另一種情況下的的值.

1)由,得,

從而,整理得, .

2)解法1:由(1)知,,所以橢圓的方程可以寫為

設直線AB的方程為

由已知設則它們的坐標滿足方程組,

消去y整理,得,

依題意,

①,②由題設知,點B為線段AE的中點,

所以③,

聯(lián)立①②③,解得,將結果代入韋達定理中解得.

解法2:由(1)知,,所以橢圓的方程可以寫為,

設直線AB的方程為,即,代入

消去x整理,得,

所以

有題設知,點B為線段AE的中點,所以,所以,

,

解得:,代入檢驗成立,

從而直線AB的斜率.

(3)由(2)知,,當時,得A由已知得

線段的垂直平分線l的方程為直線lx軸的交點的外接圓的圓心,因此外接圓的方程為

直線的方程為,于是點滿足方程組

,解得,故

時,同理可得.

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