Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，∠ACB=90°，
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）若二面角D-PC-A的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）要證BC⊥平面PAC，只需證明PA⊥BC，BC⊥AC即可；
（2）作AO⊥PC，則AO⊥平面PBC，利用等面積求解即可．

解答 （1）證明：∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC；
（2）解：∵AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，
∴△ACD是等邊三角形，AC=1，
設(shè)PA=x，則S_△PAC=$\frac{x}{2}$，S_△PCD=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{{x}^{2}+1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+\frac{3}{4}}}{2}$，
∵二面角D-PC-A的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{x}{2}$：$\frac{\sqrt{{x}^{2}+\frac{3}{4}}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
作AO⊥PC，則AO⊥平面PBC，
△PAC中，由等面積可得AO=$\frac{PA•AC}{PC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}×1}{\sqrt{1+\frac{3}{16}}}$=$\frac{\sqrt{57}}{19}$，
∴點(diǎn)A到平面PBC的距離為$\frac{\sqrt{57}}{19}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直，二面角，點(diǎn)到平面的距離，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．