Question

13．某醫(yī)療科研項目對5只實驗小白鼠體內的A、B兩項指標數(shù)據進行收集和分析，得到的數(shù)據如下表：

指標	1號小白鼠	2號小白鼠	3號小白鼠	4號小白鼠	5號小白鼠
A	5	7	6	9	8
B	2	2	3	4	4

（1）若通過數(shù)據分析，得知A項指標數(shù)據與B項指標數(shù)據具有線性相關關系，試根據上表，求B項指標數(shù)據y關于A項指標數(shù)據x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（2）現(xiàn)要從這5只小白鼠中隨機抽取3只，求其中至少有一只B項指標數(shù)據高于3的概率．
參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)，寫出回歸方程；
（2）利用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值．

解答 解：（1）根據題意，計算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（5+7+6+9+8）=7，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（2+2+3+4+4）=3，
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{5×2+7×2+6×3+9×4+8×4-5×7×3}{{5}^{2}{+7}^{2}{+6}^{2}{+9}^{2}{+8}^{2}-5{×7}^{2}}$=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=3-$\frac{1}{2}$×7=-$\frac{1}{2}$，
∴y關于x的線性回歸方程為$\widehat{y}$=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$；
（2）從這5只小白鼠中隨機抽取3只，基本事件數(shù)為：
223，224，224，234，234，244，234，234，244，344共10種不同的取法；
其中至少有一只B項指標數(shù)據高于3的基本事件是：
224，224，234，234，244，234，234，244，344共9種不同的取法，
故所求的概率為P=$\frac{9}{10}$．

點評 本題考查了線性回歸方程和列舉法求古典概型的概率問題，是基礎題．