Question

1．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+2=a_n+1+2a_n，求通項公式a_n．

Answer 1

分析 由a_n+2=a_n+1+2a_n，兩邊同加a_n+1，得a_n+2+a_n+1=2（a_n+1+a_n），可判斷{a_n+1+a_n}是等比數(shù)列，從而可得a_n+1+a_n=4•2^n-1①；由a_n+2=a_n+1+2a_n，兩邊同減2a_n+1，得a_n+2-2a_n+1=-（a_n+1-2a_n），可判斷{a_n+1-2a_n}是等比數(shù)列，從而可得a_n+1-2a_n=（-1）^n-1②，聯(lián)立①②可得結(jié)果．

解答 解：a_n+2=a_n+1+2a_n，兩邊同加a_n+1，得a_n+2+a_n+1=2（a_n+1+a_n），
又a₁=1，a₂=3，∴{a_n+1+a_n}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n+1+a_n=4•2^n-1①；
a_n+2=a_n+1+2a_n，兩邊同減2a_n+1，得a_n+2-2a_n+1=-（a_n+1-2a_n），
∴{a_n+1-2a_n}是首項為1，公比為-1的等比數(shù)列，
∴a_n+1-2a_n=（-1）^n-1②，
由①②得a_n=$\frac{4}{3}$•2^n-1-$\frac{1}{3}$•（-1）^n-1．

點評 本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、等比數(shù)列的定義及通項公式，考查學(xué)生推理論證能力、分析問題解決問題的能力．