Question

15．△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosC}{c}$=$\frac{1}$，b=4，且a＞c．
（1）求ac的值；
（2）若△ABC的面積為2$\sqrt{7}$，求a，c的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用余弦定理，化簡整理，計算即可得到ac的值；
（2）由三角形的面積公式可得sinB，求得cosB，再由余弦定理可得a，c關(guān)系式，解方程可得a，c的值．

解答 解：（1）$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosC}{c}$=$\frac{1}$，b=4，
可得acosC+ccosA=$\frac{ac}{4}$，
由余弦定理可得a•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+c•$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{ac}{4}$，
即有b=$\frac{ac}{4}$，則ac=16；
（2）△ABC的面積為2$\sqrt{7}$，
可得$\frac{1}{2}$acsinB=2$\sqrt{7}$，
即有sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
cosB=±$\sqrt{1-\frac{7}{16}}$=±$\frac{3}{4}$，
b²=a²+c²-2accosB，
即為16=a²+c²-24，或16=a²+c²+24（舍去），
又ac=16，（a＞c＞0），
解得a=4$\sqrt{2}$，c=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三角形的余弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查化簡整理的圓能力，屬于中檔題．