Question

12．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，若存在唯一的正整數(shù)n使得不等式a_n²-ta_n-2t²≤0成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為-2＜t≤-1或$\frac{1}{2}$≤t＜1．

Answer 1

分析 由題意求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，將原不等式轉(zhuǎn)化成n²-tn-2t²≤0，構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=n²-tn-2t²，由題意可知f（1）≤0，f（2）＞0，即可求得t的取值范圍．

解答 解：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{（n+1）{a}_{n}}{2}$-$\frac{n{a}_{n-1}}{2}$，
整理得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，又a₁=1，故a_n=n，
不等式a_n²-ta_n-2t²≤0可化為：n²-tn-2t²≤0，
設(shè)f（n）=n²-tn-2t²，由于f（0）=-2t²，
由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1-t-2{t}^{2}≤0}\\{f（2）=4-2t-2{t}^{2}＞0}\end{array}\right.$，解得-2＜t≤-1或$\frac{1}{2}$≤t＜1．
故答案為：-2＜t≤-1或$\frac{1}{2}$≤t＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、不等式的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題