Question

函數(shù)f（x）的定義域為A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=2x+1是單函數(shù)，下列命題
①函數(shù)f（x）=x²（x∈R）是單函數(shù)
②對數(shù)函數(shù)f（x）=log₂

1-x

1+x

在定義域上是單函數(shù)
③指數(shù)函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

（x∈R）為單函數(shù)
④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)，其中的真命題的是

 

（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：根據(jù)單函數(shù)的定義f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，可知函數(shù)f（x）則對于任意b∈B，它至多有一個原象，而①④f（-1）=f（1），顯然-1≠1，可知它不是單函數(shù)，②③都是，可得結(jié)果．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）的定義域為A，若x₁，x₂∈A，且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數(shù)
對于①函數(shù)f（x）=x²不是單函數(shù)，∵f（-1）=f（1），顯然-1≠1，∴函數(shù)f（x）=x²（x∈R）不是單函數(shù)；
對于②，對數(shù)函數(shù)f（x）=log₂

1-x

1+x

在定義域上是單函數(shù)，定義域（-1，1），函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，滿足單函數(shù)的定義，正確．
對于③，指數(shù)函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，（x∈R）是單調(diào)函數(shù)，滿足單函數(shù)的定義，③為單函數(shù)正確，
對于④，當(dāng)函數(shù)單調(diào)時，在單調(diào)區(qū)間上必有f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，但在其他定義域上，不一定是單函數(shù)，例如：函數(shù)f（x）=x²在（0，+∞）上是增函數(shù)，而它不是單函數(shù)；故④不正確．
故答案為：②③．

點評：此題是中檔題．考查學(xué)生分析解決問題的能力，以及知識方法的遷移能力．