Question

【題目】已知直線恒過(guò)定點(diǎn)，圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和定點(diǎn)，且圓心在直線上．

(1)求圓的方程；

(2)已知點(diǎn)為圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，若另一端點(diǎn)為點(diǎn)，問(wèn)軸上是否存在一點(diǎn)，使得為直角三角形，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）先求出直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，由題意列方程組，即可求圓的方程；

（2）由（1）可知：求得直線的斜率，根據(jù)對(duì)稱性求得點(diǎn)坐標(biāo)，由在圓外，所以點(diǎn)不能作為直角三角形的頂點(diǎn)，分類討論，即可求得的值．

(1)直線的方程可化為，由解得

∴定點(diǎn)的坐標(biāo)為． 設(shè)圓的方程為，則圓心

則依題意有 解得

∴圓的方程為；

(2)由(1)知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,∴圓心，半徑.

∵是直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，∴圓心是與的中點(diǎn)，

∵軸上的點(diǎn)在圓外，∴是銳角，即不是直角頂點(diǎn)．

若是的直角頂點(diǎn)，則，得；

若是的直角頂點(diǎn)，則，得.

綜上所述，在軸上存在一點(diǎn)，使為直角三角形，或.