Question

3．在銳角△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$，∠BAC的平分線交邊BC于點(diǎn)D，|AD|=1，則△ABC面積的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{\sqrt{10}}{6}$，$\frac{\sqrt{7}}{4}$]
• B． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{7}}{4}$]
• C． [$\frac{\sqrt{10}}{6}$，$\frac{3\sqrt{3}}{8}$）
• D． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{3\sqrt{3}}{8}$）

Answer 1

分析 根據(jù)余弦定理和角平分線定理，求出△ABC是正三角形時(shí)面積取得最小值$\frac{\sqrt{3}}{3}$，當(dāng)AB⊥BC時(shí)，△ABC面積取得最大值$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，由此求出結(jié)果．

解答 解：如圖所示，
銳角△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$，∠BAC的平分線交邊BC于點(diǎn)D，|AD|=1，
根據(jù)余弦定理，BD²=c²+1-2c•cos$\frac{π}{6}$=c²-$\sqrt{3}$c+1，
CD²=b²+1-2b•cos$\frac{π}{6}$=b²-$\sqrt{3}$b+1；
根據(jù)角平分線定理，$\frac{DB}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$，
即$\frac{{c}^{2}-\sqrt{3}c+1}{^{2}-\sqrt{3}b+1}$=$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$；
∴b²c²-$\sqrt{3}$b²c+b²=b²c²-$\sqrt{3}$bc²+c²，
即$\sqrt{3}$bc（c-b）=（c-b）（c+b）；
當(dāng)b=c時(shí)，△ABC是正三角形，由|AD|=1，
得AB=AC=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，則S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
當(dāng)b≠c時(shí)，$\sqrt{3}$bc=b+c≥2$\sqrt{bc}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)“=”成立，
所以bc≥$\frac{4}{3}$，即b=c=$\frac{2}{\sqrt{3}}$時(shí)S_△ABC取得最小值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
又當(dāng)AB⊥BC時(shí)，
BD=$\frac{1}{2}$，AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，DC=AD=1，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（1+$\frac{1}{2}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$為最大值，
△ABC面積的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{3\sqrt{3}}{8}$]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角形面積的計(jì)算問(wèn)題，是較難的題目．