Question

19．對于n∈N₊，將n表示$n={a_0}×{2^k}+{a_1}×{2^{k-1}}+{a_2}×{2^{k-2}}+…+{a_{k-1}}×{2^1}+{a_k}×{2^0}$，當(dāng)i=0時a_i=1，當(dāng)1≤i≤k時，a_i為0或1．記I（n）為上述表示中a_i為0的個數(shù)，例如：1=1×2⁰，4=1×2²+0×2¹+0×2⁰，故I（1）=0，I（4）=2．則（1）I（10）=2； （2）$\sum_{n=1}^{63}{{2^{I（n）}}=}$364．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意分析可得，將n表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，實(shí)際是將十進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制的數(shù)，得10=1×2³+0×2²+1×2¹+0×2⁰，由I（n）的意義可得答案；
（2）將n分為n=63，32≤n≤63，16≤n≤31，…n=1等6種情況，由組合數(shù)的性質(zhì)，分析其中I（n）的取值情況，與二項(xiàng)式定理結(jié)合，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的前6項(xiàng)和，計算可得$\sum_{n=1}^{63}{2}^{I（n）}$的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，10=1×2³+0×2²+1×2¹+0×2⁰，則I（10）=2；
（2）63=1×2⁵+1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰，
設(shè)32≤n≤63，且n為整數(shù)；
則n=1×2⁵+a₁×2⁴+a₂×2³+a₃×2²+a₄×2¹+a₅×2⁰，
a₁，a₂，a₃，a₄，a₅中6個數(shù)都為0或1，
其中沒有一個為1時，有C₅⁰種情況，即有C₅⁰個I（n）=5；
其中有一個為1時，有C₅¹種情況，即有C₅¹個I（n）=4；
其中有2個為1時，有C₅²種情況，即有C₅²個I（n）=3；
…
∴$\sum_{n=32}^{63}{2}^{I（n）}$═C₅⁰×2⁵+C₅¹×2⁴+C₅²×2³+C₅³×2²+C₅⁴×1+C₅⁵×0=3⁵，
同理可得，$\sum_{n=16}^{31}{2}^{I（n）}$=3⁴，$\sum_{n=8}^{15}{2}^{I（n）}={3}^{3}$，$\sum_{n=4}^{7}{2}^{I（n）}={3}^{2}$，$\sum_{n=2}^{3}{2}^{I（n）}={3}^{1}$，I（1）=0，
∴$\sum_{n=1}^{63}{2}^{I（n）}$=1+3¹+3²+…+3⁵=$\frac{1-{3}^{6}}{1-3}$=364，
故答案為：（1）2；（2）364．

點(diǎn)評 本題考查歸納推理，二項(xiàng)式定理與組合數(shù)性質(zhì)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等，解本關(guān)鍵在于分析題意，透徹理解I（n）的含義，注意轉(zhuǎn)化思想，考查觀察、分析、歸納的能力．