Question

7．已知點A（1，2）在拋物線Γ：y²=2px上．若△ABC的三個頂點都在拋物線Γ上，記三邊AB，BC，CA所在直線的斜率分別為k₁，k₂，k₃，則$\frac{1}{k_1}-\frac{1}{k_2}+\frac{1}{k_3}$的值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 5

Answer 1

分析 把點A（1，2）代入拋物線Γ：y²=2px上，可得p=2．即可得到拋物線Γ的方程為：y²=4x．設(shè)B（$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$，y₁），C（$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$，y₂），分別求得k₁，k₂，k₃，代入即可求得$\frac{1}{k_1}-\frac{1}{k_2}+\frac{1}{k_3}$的值．

解答 解：（1）∵點A（1，2）在拋物線Γ：y²=2px上，∴2²=2p×1，解得p=2．
∴拋物線Γ的方程為：y²=4x．
設(shè)B（$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$，y₁），C（$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$，y₂），
k₁=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-1}$=$\frac{4}{{y}_{1}+2}$，k₂=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-\frac{{y}_{2}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，k₃=$\frac{{y}_{2}-2}{\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-1}$=$\frac{4}{{y}_{2}+2}$，
$\frac{1}{k_1}-\frac{1}{k_2}+\frac{1}{k_3}$=$\frac{{y}_{1}+2}{4}$-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{4}$+$\frac{{y}_{2}+2}{4}$=1，
故選：A．

點評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計算公式，屬于中檔題．