Question

4．已知a＞0且a≠1，若函數f（x）=log_a[ax²-（2-a）x+3]在[$\frac{1}{3}$，2]上是增函數，則a的取值范圍是{a|$\frac{1}{6}$＜a≤$\frac{2}{5}$ 或a≥$\frac{6}{5}$ }．

Answer 1

分析 利用復合函數的單調性，二次函數、對數函數的性質，分類討論，求得a的范圍．

解答 解：∵a＞0且a≠1，若函數f（x）=log_a[ax²-（2-a）x+3]在[$\frac{1}{3}$，2]上是增函數，
設g（x）=ax²-（2-a）x+3，
當a∈（0，1）時，則$\frac{2-a}{2a}$=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}-\frac{1}{2}≥2}\\{g（2）=4a-4+2a+3＞0}\end{array}\right.$，求得$\frac{1}{6}$＜a≤$\frac{2}{5}$．
當a＞1時，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}-\frac{1}{2}≤\frac{1}{3}}\\{g（\frac{1}{3}）=\frac{4a+21}{9}＞0}\end{array}\right.$，求得a≥$\frac{6}{5}$．
綜上可得，a的范圍為{a|$\frac{1}{6}$＜a≤$\frac{2}{5}$ 或a≥$\frac{6}{5}$ }，
故答案為：{a|$\frac{1}{6}$＜a≤$\frac{2}{5}$ 或a≥$\frac{6}{5}$ }．

點評 本題主要考查復合函數的單調性，二次函數、對數函數的性質，屬于中檔題．