Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點A（-1，0），B（1，0），Q為△ABC的外心．已知

CG

+2

OG

=0，OG∥AB．
（1）求點C的軌跡Γ的方程
（2）設(shè)經(jīng)過f（0，

2

）的直線交軌跡Γ與E，H，直線EH與直線l：y=

3

2

2

交于點M，點P是直線y=

2

上異于點F的任意一點．若直線PE，PH，PM的斜率分別為k₁，k₂，k₃，問是否存在實數(shù)t，使得

1

k1

+

1

k2

=

t

k3

，若存在，求t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)C（x，y），

CG

+2

OG

=

0

，可得G(

x

3

，

y

3

)，Q(0，

y

3

)，根據(jù)|QA|=|QC|，即可得出．
（2）當(dāng)直線EF的斜率不存在時，t=2．當(dāng)直線EF的斜率存在時，設(shè)斜率為k．則直線EH的方程為y=kx+

2

，點M的坐標(biāo)為(

2

2k

，

3 2

2

)．把直線方程代入橢圓方程可得(k2+3)x2+2

2

kx-1=0，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），P（a，

2

）（a≠0）．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得

1

k1

=

x1-a

y1- 2

=

x1-a

kx1

，

1

k2

=

x2-a

kx2

，

1

k3

=

1

k

-

2

a．又

1

k1

+

1

k2

=

t

k3

，即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)C（x，y），

CG

+2

OG

=

0

，則G(

x

3

，

y

3

)，Q(0，

y

3

)，
根據(jù)|QA|=|QC|，
可得x2+

y2

3

=1(y≠0)．
（2）當(dāng)直線EF的斜率不存在時，t=2．
當(dāng)直線EF的斜率存在時，設(shè)斜率為k．則直線EH的方程為y=kx+

2

，點M的坐標(biāo)為(

2

2k

，

3 2

2

)．
把直線方程代入橢圓方程可得(k2+3)x2+2

2

kx-1=0，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），P（a，

2

）（a≠0）．
則x1+x2=

-2 2 k

k2+3

，x₁x₂=

-1

k2+3

，
∴

1

k1

=

x1-a

y1- 2

=

x1-a

kx1

，

1

k2

=

x2-a

kx2

，

1

k3

=

1

k

-

2

a．
又∵

1

k1

+

1

k2

=

t

k3

，
∴

x1-a

kx1

+

x2-a

kx2

=

2

k

-2

2

a．
故存在常數(shù)t=2滿足條件．

點評：本題綜合考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．題目應(yīng)該為CG+2QG=0 QG平行于AB