Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的一部分圖象如圖所示，（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（A）=1，sinB=4sin（π-C），△ABC的面積為

3

，求邊長a的值．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）由圖象可知A=2，周期T=π從而可求ω的值，又f（

π

6

）=2sin（2×

π

6

+φ）=2，|φ|＜

π

2

 可求φ，從而可得函數(shù)解析式，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由 f（A）=1 可求A的值，由sinB=4sin（π-C）及正弦定理可求得b=4c，由三角形面積公式可求b，c的值，從而由余弦定理即可得解．

解答： 解：（Ⅰ）由圖象可知，A=2，
函數(shù)f（x）的周期T=π，∵T=

2π

|ω|

 且ω＞0，∴ω=2
又f（

π

6

）=2sin（2×

π

6

+φ）=2，|φ|＜

π

2

 解得φ=

π

6

∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）                                  …（4分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）  …..（6分）
（Ⅱ）由 f（A）=1 即2sin（2A+

π

6

）=1，所以A=

π

3

        …．（7分）
∵sinB=4sin（π-C），所以sinB=4sinC，則b=4c，…．（8分）
又△ABC的面積為

3

，所以S=

1

2

bcsin

π

3

=

3

，即bc=4
所以b=4，c=1                                       …．（10分）
則a²=4²+1²-2×4×1×cos

π

3

=13，所以a=

13

        …．（12分）

點評：本題考查了三角函數(shù)解析式的求法，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．