Question

11．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-$\frac{{a{x^2}+x}}{{{{（1+x）}^2}}}$．
（Ⅰ）當(dāng)a≤2時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若x＞0，求函數(shù)g（x）=${（1+\frac{1}{x}）^x}{（1+x）^{\frac{1}{x}}}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）得到$g（x）=g（{\frac{1}{x}}）$，設(shè)$φ（x）=lng（x）=（x+\frac{1}{x}）ln（1+x）-xlnx$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再二次求導(dǎo)，求出φ（x）的最大值，從而求出g（x）的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ） 由題意知：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
且$f'（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{{（2ax+1）（1+x）-2（a{x^2}+x）}}{{{{（1+x）}^3}}}=\frac{x（x-2a+3）}{{{{（1+x）}^3}}}$，
①當(dāng)2a-3≤-1時，即a≤1時，
若x＞0，則f'（x）＞0；若-1＜x＜0，則f'（x）＜0，
此時f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間 （-1，0）上單調(diào)遞減．
②當(dāng)-1＜2a-3＜0，即$1＜a＜\frac{3}{2}$時
若-1＜x＜2a-3或x＞0，則f'（x）＞0； 若2a-3＜x＜0，則f'（x）＜0，
此時f（x）在區(qū)間（-1，2a-3），（0，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（2a-3，0）上單調(diào)遞減．
③當(dāng)2a-3=0時$a=\frac{3}{2}$時，f'（x）≥0，故此時f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上單調(diào)遞增．
④當(dāng)2a-3＞0時，即$\frac{3}{2}＜a≤2$時
若-1＜x＜0或x＞2a-3，則f'（x）＞0，若0＜x＜2a-3，則f'（x）＜0，
∴f（x）在區(qū)間（-1，0），（2a-3，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間上（0，2a-3）單調(diào)遞減．
（Ⅱ）顯然$g（x）=g（{\frac{1}{x}}）$，設(shè)$φ（x）=lng（x）=（x+\frac{1}{x}）ln（1+x）-xlnx$，
則$φ（x）=φ（\frac{1}{x}）$，因此φ（x）在（0，+∞）上的最大值等于其在（0，1]上的最大值；
$φ'（x）=（1-\frac{1}{x^2}）ln（1+x）+（x+\frac{1}{x}）•\frac{1}{1+x}-lnx-1$，
設(shè)$h（x）=（1-\frac{1}{x^2}）ln（1+x）+（x+\frac{1}{x}）•\frac{1}{1+x}-lnx-1$，
$h'（x）=\frac{{2{{（1+x）}^2}[ln（1+x）-\frac{{2{x^2}+x}}{{{{（1+x）}^2}}}]}}{{{x^3}{{（1+x）}^2}}}$，
由（Ⅰ）知，當(dāng)a=2時，f（x）在區(qū)間（0，1]單調(diào)遞減，
所以$f（x）=ln（1+x）-\frac{{2{x^2}+x}}{{{{（1+x）}^2}}}＜f（0）=0$，h'（x）＜0，
所以函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1]單調(diào)遞減，于是h（x）≥h（1）=0，
從而函數(shù)φ（x）在區(qū)間（0，1]單調(diào)遞增，進(jìn)而φ（x）≤φ（1）=2ln2，
因?yàn)棣眨▁）=lng（x），
所以函數(shù)g（x）的最大值等于4．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．