Question

3．已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|x+m|（m＜2），若f（x）的最小值為1．
（1）試求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求證：log₂（2^a+2^b）-m≥$\frac{a+b}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用絕對(duì)值不等式，結(jié)合f（x）的最小值為1．求實(shí)數(shù)m的值；
（2）利用基本不等式，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=|x+2|+|x+m|≥|2-m|，
當(dāng)且僅當(dāng)（x+2）（x-m）≤0時(shí)取等號(hào)…（2分）
所以|2-m|=1，…（3分）
因?yàn)閙＜2，
所以解得 m=1…（4分）
證明：（2）∵2^a＞0，2^b＞0，
∴2^a+2^b≥$2\sqrt{{2}^{a+b}}$，
∴l(xiāng)og₂（2^a+2^b）-m≥log₂（$2\sqrt{{2}^{a+b}}$）-1=$\frac{a+b}{2}$．…（5分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．