Question

8．已知向量$\overrightarrow{m}$=（-2sin（π-x），cosx），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，2sin（$\frac{π}{2}$-x）），函數f（x）=1-$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求函數f（x）的值域；
（2）當x∈[0，π]時，求f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用向量的乘積運算求出f（x）的解析式，將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，在求解x∈[0，$\frac{π}{2}$]，函數f（x）的最值，即可得值域．
（2）當x∈[0，π]時，求出內層函數的范圍，放到正弦函數的增區(qū)間上，解不等式得函數的單調遞增區(qū)間；求f（x）的單調遞增區(qū)間．

解答 解：（1）由題意：$\overrightarrow{m}$=（-2sin（π-x），cosx），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，2sin（$\frac{π}{2}$-x）），
函數f（x）=1-$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$
=1+$2\sqrt{3}$cosxsin（π-x）-2cosxsin（$\frac{π}{2}$-x）
=1+2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x
=1+$\sqrt{3}$sin2x-1-cos2x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x$-\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
當x=$-\frac{π}{6}$時，f（x）取值最小值為-1，
當x=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值為2，
所以函數f（x）的值域為[-1，2]．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由正弦函數圖象及性質可知：單調遞增區(qū)間為[$2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]（k∈Z）．
即$2kπ-\frac{π}{2}≤$$2x-\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）．
解得：$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$（k∈Z）．
又∵x∈[0，π]
當k=0時，可得：$0≤x≤\frac{π}{3}$．
當k=1時，可得：$\frac{5π}{6}≤x≤π$．
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{3}$]和[$\frac{5π}{6}$，π]．

點評 本題考查了三角函數圖象及性質的綜合運用能力和計算能力，對三角函數的理解！屬于中檔題．