Question

18．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f′（x）-f（x）=x•e^x，且f（0）=$\frac{1}{2}$，則$\frac{f′（x）}{f（x）}$的最大值為（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 先構(gòu)造函數(shù)，F(xiàn)（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，根據(jù)題意求出f（x）的解析式，即可得到$\frac{f′（x）}{f（x）}$=$\frac{{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+1}$，再根據(jù)根的判別式即可求出最大值．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則F′（x）=$\frac{{e}^{x}[f′（x）-f（x）]}{{e}^{2x}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$=x，
則F（x）=$\frac{1}{2}$x²+c，
∴f（x）=e^x（$\frac{1}{2}$x²+c），
∵f（0）=$\frac{1}{2}$，
∴c=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=e^x（$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$），
∴f′（x）=e^x（$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$）+x•e^x，
∴$\frac{f′（x）}{f（x）}$=$\frac{{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+1}$，
設(shè)y=$\frac{{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+1}$，
則yx²+y=x²+2x+1，
∴（1-y）x²+2x+（1-y）=0，
當(dāng)y=1時(shí)，x=0，
當(dāng)y≠1時(shí)，要使方程有解，
則△=4-4（1-y）²≥0，
解得0≤y≤2，
故y的最大值為2，
故$\frac{f′（x）}{f（x）}$的最大值為2，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的關(guān)系以及函數(shù)的值域問題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)和利用根的判別式求函數(shù)的值域，屬于中檔題．