已知函數(shù)f(x)=1-
22x+1

(1)證明函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:f(x)是其定義域上的增函數(shù).
分析:(1)已知函數(shù)f(x)=1-
2
2x+1
,根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì),判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,從而進(jìn)行判斷;
(2)從R上任取x1、x2,設(shè)x1<x2,則△x=x2-x1,再判斷f(x1)-f(x2)與0的關(guān)系,用定義法進(jìn)行證明;
解答:解:(1)∵2x+1≠0,
∴f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.       …(2分)
又∵f(-x)=1-
2
2-x+1
=1-
2.2x
1+2x
=
1-2x
2x+1
=-1+
2
2x+1
=-f(x)

∴f(x)為奇函數(shù)
(2)∵f(x)=1-
2
2x+1

從R上任取x1、x2,設(shè)x1<x2,
則△x=x2-x1….(6分)
△y=f(x1)-f(x2)=(1-
2
2x1+1
)-(1-
2
2x2+1
)
=2(
1
2x2+1
-
1
2x1+1
)
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
…(10分)
x1x22x12x2,
2x1-2x2<0,又2x1+1>0,2x2+1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2)…(11分)
∴f(x)在其定義域R上是增函數(shù)                                    …(12分)
點(diǎn)評(píng):此題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用,以及用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性,此題是一道基礎(chǔ)題;
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個(gè)函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時(shí)滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn);
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案