Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+1），求數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}+1}$}的前n項(xiàng)和T_n，并證明：$\frac{1}{2}$≤T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）由已知條件，寫出a₁=1，化簡(jiǎn)整理得$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}=2$，{a_n+1}是以1首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，寫出其通項(xiàng)公式，
（2）求得b_n=n，寫出數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}+1}$}的通項(xiàng)公式，采用乘以公比錯(cuò)位相減求得前n項(xiàng)和T_n，可以證明$\frac{1}{2}$≤T_n＜2．

解答 解：（1）S_n=2a_n-n（n∈N^*），當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a₂=3，
S_n-1=2a_n-1-n+1，
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}=2$，$\frac{{a}_{2}+1}{{a}_{1}+1}=2$成立，
{a_n+1}是以1首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$（n∈N^*），
（2）證明：b_n=log₂（a_n+1）=$lo{g}_{2}{2}^{n}$=n，
$\frac{_{n}}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$，
當(dāng)n=1，T_n=$\frac{1}{2}$
∴$\frac{1}{2}$≤T_n＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式和采用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和，過程簡(jiǎn)單，屬于中檔題．