Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底面ABCD對角線的交點，
（1）求證：C₁O∥面AB₁D₁；
（2）求二面角A-B₁D₁-C₁的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連接A₁C₁交B₁D₁于點O₁，連AO₁，推出AO₁∥C₁O，利用在小于平面平行的判定定理證明C₁O∥面AB₁D₁．
（2）連接A₁C₁交B₁D₁于點O₁，說明∠A₁O₁A的 補角為二面角A-B₁D₁-C₁的平面角，通過解三角形即可求出所求的二面角的正切值．

解答： 證明：（1）連接A₁C₁交B₁D₁于點O₁，連AO₁，由C₁O₁∥AO，C₁O₁=AO，
知四邊形AOC₁O₁為平行四邊形，
得AO₁∥C₁O．     （2分）
又AO₁?面AB₁D₁，C₁O?面AB₁D₁，
故C₁O∥面AB₁D₁．                （4分）
（2）解：連接A₁C₁交B₁D₁于點O₁，顯然A₁O₁⊥D₁B₁，（5分）    
而AA₁⊥面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?面A₁B₁C₁D₁，
故B₁D₁⊥面AA₁O₁，AO₁⊥B₁D₁，
故∠A₁O₁A的 補角為二面角A-B₁D₁-C₁的平面角．   （7分）
AA₁=a，則O₁A₁=

2

2

a，
則tan∠AO1A1=

AA1

A1O1

=

2

，
故所求的二面角的正切值為-

2

．（8分）

點評：本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面平行的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．