Question

若f（x）=x³+3x，g（x）=x²-1，（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；（2）若f（x）+mg（x）在（1，+∞）上單調遞增，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x³+3x，
∴f′（x）=3x²+3
∴f′（x）=3x²+3≥0
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，+∞）
（2）h（x）=f（x）+mg（x）=x³+mx²+3x-m
∴h′（x）=3x²+2mx+3
∵f（x）+mg（x）在（1，+∞）上單調遞增
∴h′（x）=3x²+2mx+3≥0在（1，+∞）上恒成立
∴m≥在（1，+∞）上恒成立
∵
∴m≥-3
分析：（1）先由f（x）=x³+3x，求導，再由f′（x）=3x²+3≥0，求得增區(qū)間．
（2）先構造出h（x）=f（x）+mg（x）=x³+mx²+3x-m，再求導h′（x）=3x²+2mx+3，再由“f（x）+mg（x）在（1，+∞）上單調遞增”，轉化為h′（x）=3x²+2mx+3≥0在（1，+∞）上恒成立，進而轉化為m≥在（1，+∞）上恒成立求解．
點評：本題主要考查用導數(shù)法研究函數(shù)的單調性，基本思路是：當函數(shù)為增函數(shù)時，導數(shù)大于等于零；當函數(shù)為減函數(shù)時，導數(shù)小于等于零，已知函數(shù)單調性求參數(shù)的范圍，往往轉化為求相應函數(shù)的最值問題．