Question

5．如圖，已知直線l與拋物線y²=2x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，與x軸相交于點M，若y₁y₂=-4，
（1）求：M點的坐標；
（2）求證：OA⊥OB；
（3）求△AOB的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設M點的坐標為（t，0），直線l方程為x=my+t，代入y²=x得y²-2my-2t=0，利用韋達定理可證得M點的坐標為（2，0）．
（2）根據(jù)y₁y₂=-4結合向量的坐標運算得出OA⊥OB．
（3）S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OM||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$\sqrt{{m^2}+4}$≥2．由此能求出結果．

解答 （1）解：設M點的坐標為（t，0），直線l方程為x=my+t，
代入y²=2x得y²-2my-2t=0，①
y₁、y₂是此方程的兩根，
∴y₁y₂=-2t=-4，∴t=2，即M點的坐標為（2，0）；…（4分）
（2）證明：∵y₁y₂=-4，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1}{4}$y₁²y₂²+y₁y₂=0，
∴OA⊥OB； …（8分）
（3）解：由方程①，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4，且|OM|=t=2，
于是S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OM||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$×2=2$\sqrt{{m^2}+4}$≥4，
∴當m=0時，△AOB的面積取最小值4．  …（12分）

點評 本題考查拋物線的簡單性質，考查三角形面積的最小值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意拋物線性質的合理運用．