Question

10．設(shè)a≥b≥c＞0，證明：$\frac{{a}^{3}}{bc}$+$\frac{^{3}}{ca}$+$\frac{{c}^{3}}{ab}$≥$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2c}$+$\frac{^{2}+{c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$．

Answer 1

分析 a≥b≥c＞0可得a-b≥0，b-c≥0，a-c≥0，a³-b³≥0，b³-c³≥0，a³-c³≥0，運(yùn)用作差比較法，化簡整理，分解因式即可得到證明．

解答 證明：a≥b≥c＞0可得a-b≥0，b-c≥0，a-c≥0，
由$\frac{{a}^{3}}{bc}$+$\frac{^{3}}{ca}$+$\frac{{c}^{3}}{ab}$-（$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2c}$+$\frac{^{2}+{c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$）
=$\frac{2{a}^{4}+2^{4}+2{c}^{4}}{2abc}$-$\frac{ab（{a}^{2}+^{2}）}{2abc}$-$\frac{bc（^{2}+{c}^{2}）}{2abc}$-$\frac{ac（{a}^{2}+{c}^{2}）}{2abc}$
=$\frac{1}{2abc}$[（a⁴+b⁴-a³b-ab³）+（b⁴+c⁴-b³c-bc³）+（c⁴+a⁴-ac³-a³c）]
=$\frac{1}{2abc}$[（a-b）（a³-b³）+（b-c）（b³-c³）+a-c）（a³-c³）]
由a-b≥0，b-c≥0，a-c≥0，可得a³-b³≥0，b³-c³≥0，a³-c³≥0，
即有$\frac{{a}^{3}}{bc}$+$\frac{^{3}}{ca}$+$\frac{{c}^{3}}{ab}$≥$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2c}$+$\frac{^{2}+{c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$．

點評 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用作差比較法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．