Question

19．已知邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，將該菱形沿對(duì)角線AC折起，使BD=a，則三棱錐D-ABC的體積為（　�。�

• A． $\frac{a^3}{6}$
• B． $\frac{a^3}{12}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}{a^3}}}{12}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}{a^3}}}{12}$

Answer 1

分析 三棱錐B-ACD是一個(gè)正四面體．過(guò)B點(diǎn)作BO⊥底面ACD，則點(diǎn)O是底面的中心，由勾股定理求出BO，由此能求出三棱錐D-ABC的體積．

解答 解：∵邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，將該菱形沿對(duì)角線AC折起，使BD=a，
∴由題意可得：三棱錐B-ACD是一個(gè)正四面體．如圖所示：
過(guò)B點(diǎn)作BO⊥底面ACD，垂足為O，
則點(diǎn)O是底面的中心，
AO=$\frac{2}{3}×\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$．
在Rt△ABO中，
由勾股定理得BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．
∴三棱錐D-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ACD}×BO$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{\sqrt{2}{a}^{3}}{12}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．