Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{a{x^2}+4}}{x}$，且f（1）=5．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（3）判斷函數(shù)f（x）在[3，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=5列出方程求出a的值；
（2）先判斷f（x）為奇函數(shù)，求出f（x）和函數(shù)的定義域，再由奇函數(shù)的定義進(jìn)行證明；
（3）先判斷出f（x）在[3，+∞）上的單調(diào)性，利用單調(diào)性的定義證明即可．

解答 解：（1）由條件知f（1）=a+4=5，所以a=1  …（2分）
（2）f（x）為奇函數(shù)．
證明如下：由（1）可知，$f（x）=\frac{{x}^{2}+4}{x}$，
則f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞） …（4分）
任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
$f（-x）=\frac{{（-x）}^{2}+4}{-x}=-\frac{{x}^{2}+4}{x}=-f（x）$…（6分）
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．…（7分）
（3）f（x）在[3，+∞）上是增函數(shù)．…（8分）
證明如下：任取x₁，x₂∈[3，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+4}{{x}_{1}}$-$\frac{{{x}_{2}}^{2}+4}{{x}_{2}}$ 
=$\frac{{{{x}_{2}x}_{1}}^{2}+4{x}_{2}-{x}_{1}{{x}_{2}}^{2}-4{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-4）}{{x}_{1}{x}_{2}}$…（11分）
因?yàn)?≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，則f（x₁）-f（x₂）＜0    …（12分）
所以f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[3，+∞）上是增函數(shù)．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查定義法證明函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查化簡(jiǎn)、變形能力．