Question

19．已知F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線$C：\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的左、右焦點(diǎn)，P為C右支上一點(diǎn)，且|PF₁|=2|PF₂|，則△PF₁F₂的面積為（　�。�

• A． $\sqrt{15}$
• B． $\frac{{3\sqrt{15}}}{8}$
• C． $2\sqrt{15}$
• D． $3\sqrt{15}$

Answer 1

分析 先由雙曲線的方程求出|F₁F₂|=6，再由|PF₁|=2|PF₂|，求出|PF₁|，|PF₂|，由此能求出△PF₁F₂的面積．

解答 解：雙曲線$C：\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），|F₁F₂|=6，a=2，
由|PF₁|=2|PF₂|，設(shè)|PF₂|=x，則|PF₁|=2x，
由雙曲線的性質(zhì)知，2x-x=4，解得x=4．
∴|PF₁|=8，|PF₂|=4，
∵|F₁F₂|=6，∴p=$\frac{4+6+8}{2}$=9，
∴△PF₁F₂的面積S=$\sqrt{9（9-4）（9-6）（9-8）}$=3$\sqrt{15}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．