Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）AE⊥PD判定AE與PD是否垂直，并說明理由
（Ⅱ）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)題意可得：△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，又因?yàn)锽C∥AD，所以AE⊥AD．又PA⊥AE，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，進(jìn)而可得答案．
（II）建立坐標(biāo)系，利用題中的已知條件分別求出兩個(gè)平面的法向量，借助于向量的有關(guān)運(yùn)算計(jì)算出向量的夾角，再轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．
解答：解：（Ⅰ）垂直．
證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．
因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC．
又因?yàn)锽C∥AD，
所以AE⊥AD．
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD．
又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
又E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，設(shè)AB=BC=CD=DA=2，所以AE=，
AH⊥PD于H，此時(shí)EH與平面PAD所成最大角的正切值為，
所以AH=，易知PA=2，
∴，，
所以．
設(shè)平面AEF的一法向量為=（x₁，y₁，z₁），
則因此取z₁=-1，
則=（0，2，-1），因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故為平面AFC的一法向量．
又，所以．
因?yàn)槎�面角E-AF-C為銳角，所以所求二面角的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便利用已知條件得到空間的線面關(guān)系，并且便于建立坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)運(yùn)算解決空間角等問題．