Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)
（1）若y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，求f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，若f（x）在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求f（1），利用（1，f（1））在y=f（x）上，及f'（1）=-1，建立方程，即可求得函數(shù)解析式，進(jìn)而可得函數(shù)的極值，利用函數(shù)的最值在極值與端點(diǎn)處取得，可得結(jié)論；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）不單調(diào)，所以函數(shù)f'（x）在（-1，1）上存在零點(diǎn)，利用f'（-1）f'（1）＜0，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）∵（1，f（1））在x+y-3=0上，∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴2=

1

3

-a+a2-1+b
又f'（1）=-1，∴1-2a+a²-1=-1
∴a²-2a+1=0，解得a=1，b=

8

3

∴f(x)=

1

3

x2-x2+

8

3

，f′(x)=x2-2x
由f'（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的極值點(diǎn)．
∵f(0)=

8

3

，f(2)=

4

3

，f(-2)=-4，f(4)=8
∴f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值為8．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）不單調(diào)，所以函數(shù)f'（x）在（-1，1）上存在零點(diǎn)．
而f'（x）=0的兩根為a-1，a+1，區(qū)間長(zhǎng)為2，
∴在區(qū)間（-1，1）上不可能有2個(gè)零點(diǎn)．
所以f'（-1）f'（1）＜0，即a²（a+2）（a-2）＜0．
∵a²＞0，∴（a+2）（a-2）＜0，-2＜a＜2．
又∵a≠0，
∴a∈（-2，0）∪（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f'（x）在（-1，1）上存在零點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．