Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，BC=2，PA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，E為BC的中點．
（1）證明：PE⊥ED；
（2）求二面角E-PD-A的大�。�

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由題意可得△ABE為正三角形，則AE=1，在△AED中，求解三角形可得AE⊥ED．然后利用線面垂直的判定可得ED⊥平面PAE，從而得到PE⊥ED；
（2）由PA⊥平面ABCD，得平面PAD⊥平面ABCD，然后找出二面角E-PD-A的平面角．求解三角形可得二面角E-PD-A的大�。�

解答 （1）證明：如圖，
在△ABC中，∵AB=1，BC=2，AB⊥AC，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，$∠\\;=60°$B=60°，又E為BC的中點，
∴△ABE為正三角形，則AE=1，
在△AED中，∵AE=1，AD=2，∠EAD=60°，
∴$E{D}^{2}={1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2×\frac{1}{2}=3$，
∴AE²+ED²=AD²，則AE⊥ED．
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥ED，
∵PA∩AE=A，∴ED⊥平面PAE，則PE⊥ED；
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
過E作EG⊥AD，垂足為G，則EG⊥平面PAD，∴EG⊥PD，
過G作GH⊥PD，垂足為H，連接EH，
∴PD⊥平面EGH，則PD⊥EH．
則∠EHG為二面角E-PD-A的平面角．
在Rt△AED中，由AE=1，AD=2，ED=$\sqrt{3}$，可得EG=$\frac{AE•ED}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴GD=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=\frac{3}{2}$，
由△PAD∽△GHD，可得$\frac{GH}{GD}=\frac{PA}{PD}$，即GH=$\frac{PA•GD}{PD}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{3}{2}}{\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$．
∴tan$∠EHG=\frac{EG}{GH}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$，即∠EHG=60°．
∴二面角E-PD-A的大小為60°．

點評 本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，考查空間角的求法，關(guān)鍵是找出二面角的平面角，是中檔題．