Question

8．設函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2ax²+bx在（2，f（2））的切線方程是直線3x+3y-8=0．
（1）求a、b的值；
（2）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，得到關于a，b的方程組，求出a，b的值即可；（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可．

解答 解：（1）∵（2，f（2））即在3x+3y-8=0上，
∴x=2時，$y=f（2）=\frac{2}{3}$，f'（x）=x²-4ax+b，
即$\left\{{\begin{array}{l}{f（2）=\frac{8}{3}-8a+2b=\frac{2}{3}}\\{k=f'（2）=4-8a+b=-1}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}}\right.$；
（2）由（1）知：$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+3$，
則有f'（x）=x²-4x+3，
$\begin{array}{l}f'（x）＞0⇒x＜1或x＞3\\ f'（x）＜0⇒1＜x＜3\end{array}$，
即f（x）的增區(qū)間：（-∞，1）和[3，+∞），減區(qū)間：[1，3）．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性問題，考查導數的應用，是一道基礎題．