Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖所示，已知橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F．設(shè)過(guò)點(diǎn)T（t，m）的直線TA，TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0．
（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：|PF|²-|PB|²=4，求點(diǎn)P的軌跡；
（Ⅱ）設(shè)${x_1}=2，{x_2}=\frac{1}{3}$，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)t=9，求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)），并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求得A，B和F坐標(biāo)，設(shè)P，根據(jù)兩點(diǎn)之間的坐標(biāo)公式，求得|PF|²，|PB|²，由|PF|²-|PB|²=4，整理求得$x=\frac{9}{2}$，即可求得點(diǎn)P的軌跡；
（Ⅱ）分別求得M和N坐標(biāo)及AM和AN直線方程，聯(lián)立即可求得點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)直線AT，BT的方程代入代入橢圓方程，求得M和N坐標(biāo)，當(dāng)x₁=x₂，求得m，求得MN的方程，求得點(diǎn)D，當(dāng)x₁≠x₂，$m≠2\sqrt{10}$，求得直線MD和ND的斜率，由k_MD=k_ND，直線MN過(guò)點(diǎn)D（1，0），因此直線MN必過(guò)x軸上一定點(diǎn)D（1，0）．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)得，A（-3，0），B（3，0），F(xiàn)（2，0），設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），
由|PF|²=（x-2）²+y²，|PB|²=（x-3）²+y²，
∵|PF|²-|PB|²=4
代入化簡(jiǎn)得，$x=\frac{9}{2}$．
故點(diǎn)P的軌跡為直線$x=\frac{9}{2}$．…（4分）
（Ⅱ）由x₁=2，$\frac{{{x_1}^2}}{9}+\frac{{{y_1}^2}}{5}=1$，y₁＞0得${y_1}=\frac{5}{3}$，則點(diǎn)$M（{2，\frac{5}{3}}）$，直線AM的方程為$y=\frac{1}{3}x+1$，
由${x_2}=\frac{1}{3}$，$\frac{{{x_2}^2}}{9}+\frac{{{y_2}^2}}{5}=1$，y₂＜0得${y_2}=-\frac{20}{9}$，則點(diǎn)$N（{\frac{1}{3}，-\frac{20}{9}}）$，直線AN的方程為$y=\frac{5}{6}x-\frac{5}{2}$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{6}x-\frac{5}{2}}\\{y=\frac{1}{3}x+1}\end{array}}\right.⇒T（{7，\frac{10}{3}}）$…（8分）
（Ⅲ）證明：由題設(shè)知，直線AT的方程為：$y=\frac{m}{12}（{x+3}）$，直線BT的方程為：$y=\frac{m}{6}（{x-3}）$，
點(diǎn)M（x₁，y₁）滿足$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}=\frac{m}{6}（{{x_1}-3}）}\\{\frac{{{x_1}^2}}{9}+\frac{{{y_1}^2}}{5}=1}\end{array}}\right.⇒{x_1}≠-3，{x_1}=\frac{{240-3{m^2}}}{{80+{m^2}}}，{y_1}=\frac{40m}{{80+{m^2}}}$；
點(diǎn)N（x₂，y₂）滿足$\left\{{\begin{array}{l}{{y_2}=\frac{m}{6}（{{x_2}-3}）}\\{\frac{{{x_2}^2}}{9}+\frac{{{y_2}^2}}{5}=1}\end{array}}\right.⇒{x_2}≠-3，{x_2}=\frac{{3{m^2}-60}}{{20+{m^2}}}，{y_2}=\frac{-20m}{{20+{m^2}}}$；
若x₁=x₂，$\frac{{240-3{m^2}}}{{80+{m^2}}}$=$\frac{{3{m^2}-60}}{{20+{m^2}}}$且m＞0，得$m=2\sqrt{10}$，
此時(shí)直線MN的方程為x=1，過(guò)點(diǎn)D（1，0）；
若x₁≠x₂，則$m≠2\sqrt{10}$，直線MD的斜率${k_{MD}}=\frac{40m}{{80+{m^2}}}÷（{\frac{{240-3{m^2}}}{{80+{m^2}}}-1}）=\frac{10m}{{40-{m^2}}}$，
直線ND的斜率${k_{ND}}=\frac{-20m}{{20+{m^2}}}÷（{\frac{{3{m^2}-60}}{{20+{m^2}}}-1}）=\frac{10m}{{40-{m^2}}}$，
∴k_MD=k_ND，
∴直線MN過(guò)點(diǎn)D（1，0）．
因此直線MN必過(guò)x軸上一定點(diǎn)D（1，0）．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查考查軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于難題．