Question

12．已知如圖：四邊形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE=2$\sqrt{3}$，EB=BC=2，點(diǎn)F為CE上一點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE∥平面BFD；
（2）求三棱錐A-DBE的體積；
（3）求二面角D-BE-A的大小．

Answer 1

分析 （1）連接AC交BD于G，連結(jié)GF，則G為AC的中點(diǎn)，推導(dǎo)出BF⊥CE，F(xiàn)G為△ACE的中位線，由此能證明AE∥平面BFD．
（2）推導(dǎo)出BF⊥AE，BC⊥AE，AD⊥平面ABE，從而AE⊥BE，由V_A-DBE=V_D-ABE，能求出三棱錐A-DBE的體積．
（3）由AE⊥BE，AD⊥BE，得到∠DEA是二面角D-BE-A的平面角，由此能求出二面角D-BE-A的大�。�

解答 證明：（1）連接AC交BD于G，連結(jié)GF，
∵ABCD是矩形，∴G為AC的中點(diǎn)，…1
由BF⊥平面ACE得：BF⊥CE，
由EB=BC知：點(diǎn)F為CE中點(diǎn)，…2分
∴FG為△ACE的中位線，
∴FG∥AE，…3分
∵AE?平面BFD，F(xiàn)G?平面BFD，
∴AE∥平面BFD．…4分
解：（2）由BF⊥平面ACE得：BF⊥AE，
由BC⊥平面ABE及BC∥AD，得：BC⊥AE，AD⊥平面ABE，
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，則AE⊥BE，…6分
∴V_A-DBE=V_D-ABE=$\frac{1}{3}{S_{△ABE}}•AD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×2=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
即三棱錐A-DBE的體積為$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．…8分
（3）由（2）知：AE⊥BE，AD⊥BE，
∴BE⊥平面ADE，則BE⊥DE，
∴∠DEA是二面角D-BE-A的平面角，…10分
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{A{D^2}+A{E^2}}=\sqrt{{2^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}$=4，
∴AD=$\frac{1}{2}$DE，則∠DEA=30°，
∴二面角D-BE-A的大小為30°． …12分．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．