Question

（2012•廈門模擬）本小題設(shè)有（1）（2）（3）三個選考題，每題7分，請考生任選兩題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．

（1）選修4﹣2：矩陣與變換

已知是矩陣屬于特征值λ1=2的一個特征向量．

（I）求矩陣M；

（Ⅱ）若，求M10a．

（2）選修4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（l，0），B（2，0）是兩個定點，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)）．

（I）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；

（Ⅱ）以A（l，0為極點，||為長度單位，射線AB為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程．

（3）選修4﹣5：不等式選講

（I）試證明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（a，b，x，y∈R）；

（Ⅱ）若x2+y2=2，且|x|≠|(zhì)y|，求的最小值．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）（I）由題意，根據(jù)特征值與特征向量的定義，建立方程組，即可求得矩陣M；

（Ⅱ）求出矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），從而可求矩陣M的另一個特征值與特征向量，將向量用特征向量線性表示，進(jìn)而可求結(jié)論；

（2）（I）由消去θ，即可得普通方程；

（Ⅱ）將原點移至A（1，0），則相應(yīng)曲線C的方程為（x﹣1）2+y2=1，從而可得曲線C的極坐標(biāo)方程；

（3）（I）利用作差法即可證得；

（Ⅱ）令u=x+y，v=x﹣y，則，根據(jù)，可得u2+v2=4，由柯西不等式得：，從而可求的最小值．

（1）【解析】
（I）由題意，，∴，∴a=1，b=2

∴矩陣M=；

（Ⅱ）由（I）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2）

∴矩陣M的另一個特征值為λ2=1

設(shè)是矩陣M屬于特征值1的特征向量，則

∴，取x=1，則

∴

∴=

（2）（I）由消去θ可得（x﹣2）2+y2=1；

（Ⅱ）將原點移至A（1，0），則相應(yīng)曲線C的方程為（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0

∴曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ﹣2cosθ=0

（3）（I）證明：左邊﹣右邊=a2y2+b2x2﹣2abxy=（ay﹣bx）2≥0，∴左邊≥右邊

即

（Ⅱ）令u=x+y，v=x﹣y，則

∵，∴（u+v）2+（u﹣v）2=8，∴u2+v2=4

由柯西不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時，的最小值是1．