Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAC=90°，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面PAC；
（Ⅱ）在線段PB上是否存在一點(diǎn)M，使得OM∥平面PAD？若存在，寫出證明過(guò)程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,探究型,空間位置關(guān)系與距離

分析：（ I）先證明AD⊥AC，再證明PO⊥AD．即可證AD⊥平面PAC．
（ II）設(shè)PA、AD的中點(diǎn)分別為E、F，連結(jié)OF、ME、EF，證明四邊形OMEF是平行四邊形，即可證明OM∥EF，從而可證OM∥平面PAD．

解答： （本小題滿分14分）
證明：（ I）在△ADC中，因?yàn)椤螪AC=90°，所以AD⊥AC．
又因?yàn)?nbsp;PO⊥面ABCD，AD?平面ABCD
所以 PO⊥AD．又因?yàn)?nbsp;PO∩AC=O，PC、AC?平面PAC，
所以AD⊥平面PAC．…（6分）
（ II）存在．當(dāng)M為PB中點(diǎn)時(shí)，OM∥平面PAD．…（7分）
證明：設(shè)PA、AD的中點(diǎn)分別為E、F，連結(jié)OF、ME、EF，在△ACD中，O為AC的中點(diǎn)，
所以OF∥CD，OF=

1

2

CD．在△PAB中，M、E為PB、PA的中點(diǎn)，
所以 ME∥AB， ME=

1

2

AB，ME∥OF，ME=OF，
所以 四邊形OMEF是平行四邊形，
所以 OM∥EF．
因?yàn)?nbsp;OM?平面PAD，EF?平面PAD，
所以 OM∥平面PAD．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，取M為PB中點(diǎn)，PA、AD的中點(diǎn)分別為E、F，連結(jié)OF、ME、EF，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．