Question

6．已知函數(shù)f（x）=ae^x-blnx，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為$y=（\frac{1}{e}-1）x+1$．
（1）求a，b；
（2）證明：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程，可得f（1）=$\frac{1}{e}$，f′（1）=$\frac{1}{e}$-1，由此可求a，b的值；
（2）構(gòu)造函數(shù)y=e^x-2-（x-1），求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的最小值；構(gòu)造y=lnx-（x-1），求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最大值，故可得證．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）=ae^x-blnx，
求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=ae^x-$\frac{x}$（x＞0）
∵曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為$y=（\frac{1}{e}-1）x+1$，
∴f（1）=$\frac{1}{e}$，f′（1）=$\frac{1}{e}$-1，
∴ae=$\frac{1}{e}$，ae-b=$\frac{1}{e}$-1，
∴a=$\frac{1}{{e}^{2}}$，b=1；
（2）證明：函數(shù)f（x）=e^x-2-lnx，
由y=e^x-2-（x-1）的導(dǎo)數(shù)y′=e^x-2-1，
當(dāng)x＞2時(shí)，導(dǎo)數(shù)y′＞0，函數(shù)y遞增；
當(dāng)x＜2時(shí)，導(dǎo)數(shù)y′＜0，函數(shù)y遞減．
可得函數(shù)y在x=2處取得極小值也為最小值0，
即有e^x-2≥x-1；
由y=lnx-（x-1）的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{x}$-1，
當(dāng)x＞1時(shí)，導(dǎo)數(shù)y′＜0，函數(shù)y遞減；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，導(dǎo)數(shù)y′＞0，函數(shù)y遞增．
可得函數(shù)y在x=1處取得極大值也為最大值0，
即有l(wèi)nx≤x-1；
由于等號(hào)不同時(shí)取得，
則e^x-2＞lnx，
即有f（x）＞0成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值，屬于中檔題．