Question

20．已知圓C：x²+（y-1）²=9內(nèi)有一點P（$\sqrt{3}$，2），過點P作直線l交圓C于A、B兩點．
（1）當直線l經(jīng)過圓心C時，求直線l的方程；
（2）當直線l的傾斜角為$\frac{π}{3}$時，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）求出圓的圓心，代入直線方程，求出直線的斜率，即可求直線l的方程；
（2）利用傾斜角求出直線的斜率，然后求出直線的方程，利用點到直線的距離，半徑，半弦長的關(guān)系求弦長AB．

解答 解：（1）圓C：x²+（y-1）²=9的圓心為C（0，1），直線過點P、C，
所以直線l的斜率為k=$\frac{2-1}{\sqrt{3}-0}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
直線l的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，即$\sqrt{3}$x-3y-3=0；
（2）當直線l的傾斜角為$\frac{π}{3}$時，斜率為k=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
直線l的方程為y-2=$\sqrt{3}$（x-$\sqrt{3}$），即$\sqrt{3}$x-y-1=0；
又圓心C（0，1）到直線l的距離為d=$\frac{|\sqrt{3}×0-1×1-1|}{\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=1，圓的半徑為r=3，
所以弦AB的長為|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2×$\sqrt{{3}^{2}{-1}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系與應用問題，也考查了直線的斜率與點到直線的距離的計算問題，是基礎(chǔ)題目．