Question

19．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2AA₁=4．
（1）求證：平面BDC₁∥平面AB₁D₁；
（2）求點(diǎn)C₁到平面AB₁D₁的距離．

Answer 1

分析 （1）通過證明線面平行，證明平面BDC₁∥平面AB₁D₁；
（2）利用等體積法，求點(diǎn)C₁到平面AB₁D₁的距離．

解答 證明：（1）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C₁∥AD且B₁C₁=AD，
∴B₁C₁DA是平行四邊形，
∴C₁D∥B₁A，
∵B₁A?平面AB₁D₁，C₁D?平面AB₁D₁，
∴C₁D∥平面AB₁D₁，
同理BD∥平面AB₁D₁，
∵C₁D∩BD=D，
∴平面BDC₁∥平面AB₁D₁；
解：（2）設(shè)點(diǎn)C₁到平面AB₁D₁的距離為h．
∵AB₁=AD₁=2$\sqrt{5}$，B₁D₁=4$\sqrt{2}$，
∴由${V}_{{C}_{1}-A{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{A-{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2\sqrt{3}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×2$，
∴h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴點(diǎn)C₁到平面AB₁D₁的距離為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行、平面與平面平行的判定，考查點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算，正確運(yùn)用等體積是關(guān)鍵．