Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，1），A（1，0），B（cos θ，t）．
（1）若向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AB}$，且|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{OA}$|，求向量$\overrightarrow{OB}$的坐標(biāo)；
（2）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AB}$，求y=cos ²θ-cos θ+t²的最小值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，再由向量的模的公式，解方程可得t，進(jìn)而得到所求向量的坐標(biāo)；
（2）由向量垂直的條件，運(yùn)用配方和余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得所求最小值．

解答 解：（1）因?yàn)?\overrightarrow{AB}$=（cosθ-1，t），又$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
所以2cosθ-2+t=0，所以cosθ-1=-$\frac{t}{2}$①
又因?yàn)閨$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{OA}$|，
所以（cosθ-1）²+t²=5．②
由①②得，t²=4，
所以t=±2．
當(dāng)t=2時(shí)，cosθ=0；
當(dāng)t=-2時(shí)，cosθ=2（舍去），
所以B（0，-2），所以$\overrightarrow{OB}$=（0，-2）．
（2）由（1）可知t=2-2cosθ，
所以y=cos²θ-cosθ+（2-2cosθ）²
=5cos²θ-9cosθ+4
=5（cosθ-$\frac{9}{10}$）²-$\frac{1}{20}$．
所以當(dāng)cosθ=$\frac{9}{10}$時(shí)，y_min=-$\frac{1}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，注意運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．